A Matemática é uma das disciplinas mais importantes para qualquer aluno. Escrevo isto, porque, também é desde sempre uma disciplina que os alunos acham bastante difícil e árida e com pouca relevância para a sua vida diária, dizem eles. Venho aqui defender a dama da Matemática. Também já fui aluno, também já tive dificuldades com ela, mas aprendi a gostar da matemática e a considerá-la absolutamente fundamental para o desenvolvimento mental do indivíduo.
E porquê, perguntam vocês, é a Matemática assim tão importante?
No meu ponto de vista, a grande mais vaia da Matemática não é apenas a simples aritmética do dia a dia, mas sim, o desenvolvimento do raciocínio. Grande parte da Matemática assenta em deduções lógicas, dependentes umas das outras. Devemos ser capazes de ‘partir’ um problema em passos lógicos e resolvê-lo passo a passo, usando técnicas e teoremas que muitas vezes são o resultado de anos de aprendizagem. O raciocino que temos de desenvolver para a resolução dos problemas Matemáticos pode, e deve, ser utilizado em muitas outras áreas do conhecimento e da nossa vida e é a grande mais valia que esta disciplina traz ao comum dos cidadãos

sistema de duas equações do 1 grau com duas incóguinitas

Equações de primeiro grau com duas incógnitas
Seja x + y = 8 uma equação linear nas variáveis x e y, em que seu conjunto solução pertence a R X R.

Algumas de suas possíveis soluções são (5, 3); (– 2, 10) e (8, 0).

Observe que não há uma única solução. Na verdade, podemos encontrar um número infinito de soluções para esta equação.

Exemplo:

Acompanhe o seguinte exercício: a soma de dois números é 8 e sua diferença é 2. Que números são esses? Se x e y são esses números, as equações serão:

x + y = 8 (a soma é 8); x– y = 2 (a diferença é 2)

Esse tipo de situação em que aparece mais de uma equação recebe o nome de sistema de equações.

Podemos observar que essas equações têm uma solução em comum, isto é, que há um par de números (x,y) que fazem cumprir simultaneamente a igualdade numérica nas duas equações. Neste caso é (5, 3).


Para lembrar:

A solução de um sistema de equações é o conjunto de valores das incógnitas que, substituídas em todas as equações, as transformam em identidades.


Para lembrar:

Os sistemas de equações classificam-se em determinados, indeterminados e impossíveis ou incompatíveis, segundo tenham uma única solução, infinitas soluções ou não tenham nenhuma solução, respectivamente.


Sistema de equações
Um conjunto de m equações com n incógnitas recebe o nome de sistema linear de equações.

A solução do sistema é:

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Um conjunto de pares ordenados, se o sistema tiver duas incógnitas;

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Um conjunto de ternas ordenadas, se o sistema tiver três incógnitas, e assim sucessivamente. São soluções, simultaneamente, das m equações; isto é, a solução do sistema é a interseção dos conjuntos solução das equações.

O processo para encontrar a solução de um sistema de equações é conhecido como resolução simultânea.


Sistema de duas equações lineares

Exemplo:



Observe que, como a segunda equação só tem o x, podemos isolar a incógnita e achar seu valor.

O valor x = 4 pertence à solução do sistema, pois é a única solução da segunda equação.

Substituímos, agora, x por seu valor (4) na primeira equação do exemplo:

A solução do sistema de equações compõe-se dos valores:

x = 4 e y = 2

Podemos facilmente comprovar isso substituindo os valores achados no sistema inicial:

3 X 4 – 5 X 2 = 2, do qual obtemos 2 = 2

2 X 4 = 8, do qual obtemos 8 = 8


Métodos de resolução
Existem três métodos para resolver um sistema de equações com duas incógnitas:

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Comparação


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Substituição


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Adição

É conveniente observar, antes de começar a resolução do sistema por um dos métodos acima, se alguma equação pode ser simplificada, o que facilitará a operação.


Resolução de um sistema de equações por comparação

Esse método consiste em:

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Isolar uma mesma incógnita em cada equação.

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Igualar as duas expressões.

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Resolver a equação de primeiro grau assim obtida.



Exemplo:

Resolver, por este método, o seguinte sistema:



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Escolhemos uma das incógnitas, x ou y, isolando-a em ambas as equações.

Optamos pela incógnita x.

Na primeira equação:

Na segunda equação:

x = 5 + 2y

Se a incógnita x pode ser expressa na forma (5 + 2y) e na forma, então essas duas expressões são iguais.

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Portanto, vamos igualar as duas expressões obtidas:





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Resolvemos agora a equação obtida:



Para achar o valor da outra incógnita, x, voltamos ao início do exemplo e, em qualquer das expressões onde o x aparece isolado, substituímos o valor de y por (– 1).

Substituímos esse valor na expressão mais simples:

x = 5 + 2yx = 5 + 2(– 1)x = 5 – 2x = 3

Observe que, se fizermos substituição igual de y na outra expressão, o resultado será o mesmo: