Operações com medidas de ângulos
Adição de graus, minutos e segundos
Os ângulos podem ser somados, multiplicados, subtraídos e divididos. Para fazer isso, no entanto, é necessário levar em conta uma característica específica: suas sub-unidades são os minutos e os segundos, e muitas vezes é necessário fazer transformações com medidas de ângulos durante essas operações.
Quando você efetua uma soma de números decimais e quando a soma das unidades chega a dez ou mais, você "leva 1" à casa das dezenas. O mesmo vale para as dezenas ("vai 1" na casa das centenas), e assim por diante.
No caso dos ângulos é a mesma coisa: quando os minutos chegarem a 60 ou mais, você adiciona "1" na casa dos graus.
Veja este exemplo:
Folha Imagem
somando-se os minutos, obtém-se:
Folha Imagem
Como o resultado excedeu os 60', ficam 12' na casa dos minutos e vão 60' para a casa dos graus. 60' = 1º, então, você leva 1º para a casa dos minutos.
Folha Imagem
O mesmo vale para os segundos:
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sobram 24" e vai 1:
Folha Imagem
somam-se agora os minutos:
Folha Imagem
Sobram 13' e vai 1º.
Folha Imagem
Exemplo
Veja outro exemplo da operação, e você entenderá melhor como ela funciona:
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sobram 3'' e vai 1:
Folha Imagem
somam-se agora os minutos:
Folha Imagem
sobram 14' e vai 1°:
EXERCIICOS sobre operações com medidas de angulo?
determine::
a) (46° 48' 54'') : 2 =
b)(31° 32' 45'' ) : 3 =
c)(52° 63' 42'') : 5 =
d)45° : 2 =
a) (46° 48' 54'') : 2 = Divide-se normalmente
23° 24' 27''
b)(31° 32' 45'' ) : 3 Vc deve transformar os valores para que a divisão dê exata. Primeiro vc passa os 2' para a casa dos segundos - lembrando de somar 60 quantas vezes vc tirou da casa anterior)
31° 30' 165'' ( 2' equivale a 120" somado com os 45" tem-se 165")
Vc devefazer isso com os graus passando para minutos, aplicando a mesma regra)
30° 90' 165'' ( Como 1 grau vale 60 min) Agora vc pode dividir normalmente:
30° 90' 165'' : 3 = 10° 30' 55''
c) (52° 63' 42'') : 5
d) 45° : 2 = desmembra o 45° em graus e minutos:
44° 60' : 2 = depois divide normalmente
Colegio: Elizabeth souza serie:6ª ano 7ª professor: Luciano Reis Alunas: Lorena Batista e Lais Matos
quarta-feira, 4 de agosto de 2010
Ângulos
O ÂNGULO E SEUS ELEMENTOS
Duas semi-retas que não estejam contidas na mesma reta, e que tenham a mesma origem, dividem o plano em duas regiões: uma convexa e outra não-convexa.
Cada uma dessas regiões, junto com as semi-retas, forma um ângulo. Assim, as duas semi-retas determinam dois ângulos:
Todo ângulo possui dois lados e um vértice. Os lados são as semi-retas que determinam. O vértice é a origem comum dessas semi-retas.
O ângulo convexo, de vértice O e lados , é indicado por: AÔB, BÔA ou Ô.
Ângulos
Observe agora dois casos em que as semi-retas de mesma origem estão contidas na mesma reta. Nesses casos, formam-se também ângulos.
* As semi-retas coincidem. Temos aí o ângulo nulo e o ângulo de uma volta.
* As semi-retas não coincidem. Temos aí dois ângulos rasos ou de meia-volta.
Podemos, então, estabelecer que:
Ângulo é a região do plano limitada por duas semi-retas que têm a mesma origem.
MEDIDA DE UM ÂNGULO
A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura. A unidade padrão de medida de um ângulo é o grau, cujo símbolo é º.
Tomando um ângulo raso ou de meia-volta e dividindo-o em 180 partes iguais, determinamos 180 ângulos de mesma medida. Cada um desses ângulos representa um ângulo de 1º grau (1º).
Para medir ângulos utilizamos um instrumento denominado transferidor. O transferidor já vem graduado com divisões de 1º em 1º. Existem dois tipos de transferidor: Transferidor de 180º e de 360º.
O grau compreende os submúltiplos:
* O minuto corresponde a do grau. Indica-se um minuto por 1'.
1º=60'
* O segundo corresponde a do minuto. Indica-se um segundo por 1''.
1'=60''
Logo, podemos concluir que:
1º = 60'.60 = 3.600''
Quando um ângulo é medido em graus, minutos e segundos, estamos utilizando o sistema sexagesimal.
Ângulos
Como medir um ângulo, utilizando o transferidor
Observe a seqüência
* O centro O do transferidor deve ser colocado sobre o vértice do ângulo.
* A linha horizontal que passa pelo centro deve coincidir com uma das semi-retas do ângulo .
* Verificamos a medida da escala em que passa a outra semi-reta .
Leitura de um ângulo
Observe as seguintes indicações de ângulos e suas respectivas leituras:
15º (lê-se "15 graus'')
45º50' (lê-se ''45 graus e 50 minutos'')
30º48'36'' (lê-se ''30 graus, 48 minutos e 36 segundos'')
Observações
Além do transferidor, existem outros instrumentos que medem ângulos com maior precisão. Como exemplos temos o teodolito, utilizado na agrimensura, e o sextante, utilizado em navegação.
A representação da medida de um ângulo pode também ser feita através de uma letra minúscula ou de um número.
Um ângulo raso ou de meia-volta mede 180º.
O ângulo de uma volta mede 360º.
Questões envolvendo medidas de ângulos
Observe a resolução das questões abaixo:
* Determine a medida do ângulo AÔB na figura:
Solução
Medida de AÔB = x
Medida de BÔC = 105º
Como m ( AÔC) é 180º, pois é um ângulo raso, temos:
m (AÔB) + m (BÔC) = m (AÔC)
x + 105º = 180º
x = 180º - 105º
x = 75º
Logo, a medida de AÔB é 75º.
* Determine a medida do 6angulo não-convexo na figura:
Solução
Verificamos que o ângulo não-convexo na figura (x) e o ângulo convexo (50º) formam, juntos, um ângulo de uma volta, que mede 360º. Assim:
x + 50º = 360º
x = 360º - 50º
x = 310º
Logo, o valor do ângulo não-convexo é 310º.
O ÂNGULO E SEUS ELEMENTOS
Duas semi-retas que não estejam contidas na mesma reta, e que tenham a mesma origem, dividem o plano em duas regiões: uma convexa e outra não-convexa.
Cada uma dessas regiões, junto com as semi-retas, forma um ângulo. Assim, as duas semi-retas determinam dois ângulos:
Todo ângulo possui dois lados e um vértice. Os lados são as semi-retas que determinam. O vértice é a origem comum dessas semi-retas.
O ângulo convexo, de vértice O e lados , é indicado por: AÔB, BÔA ou Ô.
Ângulos
Observe agora dois casos em que as semi-retas de mesma origem estão contidas na mesma reta. Nesses casos, formam-se também ângulos.
* As semi-retas coincidem. Temos aí o ângulo nulo e o ângulo de uma volta.
* As semi-retas não coincidem. Temos aí dois ângulos rasos ou de meia-volta.
Podemos, então, estabelecer que:
Ângulo é a região do plano limitada por duas semi-retas que têm a mesma origem.
MEDIDA DE UM ÂNGULO
A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura. A unidade padrão de medida de um ângulo é o grau, cujo símbolo é º.
Tomando um ângulo raso ou de meia-volta e dividindo-o em 180 partes iguais, determinamos 180 ângulos de mesma medida. Cada um desses ângulos representa um ângulo de 1º grau (1º).
Para medir ângulos utilizamos um instrumento denominado transferidor. O transferidor já vem graduado com divisões de 1º em 1º. Existem dois tipos de transferidor: Transferidor de 180º e de 360º.
O grau compreende os submúltiplos:
* O minuto corresponde a do grau. Indica-se um minuto por 1'.
1º=60'
* O segundo corresponde a do minuto. Indica-se um segundo por 1''.
1'=60''
Logo, podemos concluir que:
1º = 60'.60 = 3.600''
Quando um ângulo é medido em graus, minutos e segundos, estamos utilizando o sistema sexagesimal.
Ângulos
Como medir um ângulo, utilizando o transferidor
Observe a seqüência
* O centro O do transferidor deve ser colocado sobre o vértice do ângulo.
* A linha horizontal que passa pelo centro deve coincidir com uma das semi-retas do ângulo .
* Verificamos a medida da escala em que passa a outra semi-reta .
Leitura de um ângulo
Observe as seguintes indicações de ângulos e suas respectivas leituras:
15º (lê-se "15 graus'')
45º50' (lê-se ''45 graus e 50 minutos'')
30º48'36'' (lê-se ''30 graus, 48 minutos e 36 segundos'')
Observações
Além do transferidor, existem outros instrumentos que medem ângulos com maior precisão. Como exemplos temos o teodolito, utilizado na agrimensura, e o sextante, utilizado em navegação.
A representação da medida de um ângulo pode também ser feita através de uma letra minúscula ou de um número.
Um ângulo raso ou de meia-volta mede 180º.
O ângulo de uma volta mede 360º.
Questões envolvendo medidas de ângulos
Observe a resolução das questões abaixo:
* Determine a medida do ângulo AÔB na figura:
Solução
Medida de AÔB = x
Medida de BÔC = 105º
Como m ( AÔC) é 180º, pois é um ângulo raso, temos:
m (AÔB) + m (BÔC) = m (AÔC)
x + 105º = 180º
x = 180º - 105º
x = 75º
Logo, a medida de AÔB é 75º.
* Determine a medida do 6angulo não-convexo na figura:
Solução
Verificamos que o ângulo não-convexo na figura (x) e o ângulo convexo (50º) formam, juntos, um ângulo de uma volta, que mede 360º. Assim:
x + 50º = 360º
x = 360º - 50º
x = 310º
Logo, o valor do ângulo não-convexo é 310º.
Um sistema de inequação do 1º grau é formado por duas ou mais inequações, cada uma delas tem apenas uma variável sendo que essa deve ser a mesma em todas as outras inequações envolvidas.
Quando terminamos a resolução de um sistema de inequações chegamos a um conjunto solução, esse é composto por possíveis valores que x deverá assumir para que exista o sistema.
Para chegamos a esse conjunto solução devemos achar o conjunto solução de cada inequação envolvida no sistema, a partir daí fazermos a intersecção dessas soluções.
O conjunto formado pela intesecção chamamos de CONJUNTO SOLUÇÃO do sistema.
Veja alguns exemplos de sistema de inequação do 1º grau:
Vamos achar a solução de cada inequação.
4x + 4 ≤ 0
4x ≤ - 4
x ≤ - 4 : 4
x ≤ - 1
S1 = {x R | x ≤ - 1}
Fazendo o cálculo da segunda inequação temos:
x + 1 ≤ 0
x ≤ - 1
A “bolinha” é fechada, pois o sinal da inequação é igual.
S2 = { x R | x ≤ - 1}
Calculando agora o CONJUTO SOLUÇÃO da inequação temos:
S = S1 ∩ S2
Portanto:
S = { x R | x ≤ - 1} ou S = ] - ∞ ; -1]
Em primeiro lugar devemos calcular o conjunto solução de cada inequação.
3x + 1 > 0
3x > -1
x > -1
3
A “bolinha” é aberta, pois o sinal da inequação não é igual.
Calculamos agora o conjunto solução da outra solução.
5x – 4 ≤ 0
5x ≤ 4
x ≤ 4
5
Agora podemos calcular o CONJUNTO SOLUÇÃO da inequação, assim temos:
S = S1 ∩ S2
Portanto:
S = { x R | -1 < x ≤ 4} ou S = ] -1 ; 4]
3 5 3 5
Devemos organizar o sistema antes de resolvê-lo, veja como fica:
Calculando o conjunto solução de cada inequação temos:
10x – 2 ≥ 4
10x ≥ 4 + 2
10x ≥ 6
x ≥ 6
10
x ≥ 3
5
6x + 8 < 2x + 10
6x -2x < 10 – 8
4x < 2
x < 2
4
x < 1
2
Podemos calcular o CONJUNTO SOLUÇÃO da inequação, assim temos:
S = S1 ∩ S2
Observando a solução veremos que não há intersecção, então o conjunto solução desse sistema inequação, será:
S =
Quando terminamos a resolução de um sistema de inequações chegamos a um conjunto solução, esse é composto por possíveis valores que x deverá assumir para que exista o sistema.
Para chegamos a esse conjunto solução devemos achar o conjunto solução de cada inequação envolvida no sistema, a partir daí fazermos a intersecção dessas soluções.
O conjunto formado pela intesecção chamamos de CONJUNTO SOLUÇÃO do sistema.
Veja alguns exemplos de sistema de inequação do 1º grau:
Vamos achar a solução de cada inequação.
4x + 4 ≤ 0
4x ≤ - 4
x ≤ - 4 : 4
x ≤ - 1
S1 = {x R | x ≤ - 1}
Fazendo o cálculo da segunda inequação temos:
x + 1 ≤ 0
x ≤ - 1
A “bolinha” é fechada, pois o sinal da inequação é igual.
S2 = { x R | x ≤ - 1}
Calculando agora o CONJUTO SOLUÇÃO da inequação temos:
S = S1 ∩ S2
Portanto:
S = { x R | x ≤ - 1} ou S = ] - ∞ ; -1]
Em primeiro lugar devemos calcular o conjunto solução de cada inequação.
3x + 1 > 0
3x > -1
x > -1
3
A “bolinha” é aberta, pois o sinal da inequação não é igual.
Calculamos agora o conjunto solução da outra solução.
5x – 4 ≤ 0
5x ≤ 4
x ≤ 4
5
Agora podemos calcular o CONJUNTO SOLUÇÃO da inequação, assim temos:
S = S1 ∩ S2
Portanto:
S = { x R | -1 < x ≤ 4} ou S = ] -1 ; 4]
3 5 3 5
Devemos organizar o sistema antes de resolvê-lo, veja como fica:
Calculando o conjunto solução de cada inequação temos:
10x – 2 ≥ 4
10x ≥ 4 + 2
10x ≥ 6
x ≥ 6
10
x ≥ 3
5
6x + 8 < 2x + 10
6x -2x < 10 – 8
4x < 2
x < 2
4
x < 1
2
Podemos calcular o CONJUNTO SOLUÇÃO da inequação, assim temos:
S = S1 ∩ S2
Observando a solução veremos que não há intersecção, então o conjunto solução desse sistema inequação, será:
S =
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